При многократных измерениях какой-то величины, истинное значение которой a , проделывают n измерений. В результате получают ряд приближенных значений

Истинные абсолютные погрешности представим как

Тогда можем записать:

Складывая почленно, имеем:

,

среднее арифметическое отдельных измерений.

Истинное значение а, выразится

истинная абсолютная погрешность, которая остается неизвестной.

Задача нахождения случайных погрешностей была решена Гауссом. В основе рассмотрения лежат две аксиомы:

    Погрешности равной абсолютной величины и противоположных знаков равновероятны.

    Чем больше абсолютная величина погрешности, тем она менее вероятна.

Из первой аксиомы следует, что при бесконечном числе измерений (при
)

и тогда

Но практически осуществить можно лишь конечное число измерений. И этого оказывается достаточно, так как на основе второй аксиомы маловероятны большие погрешности.

Отсюда следует, что
многих измерений, и встает задача оценить степень приближения среднего значения к истинному.

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

Если в результате измерения величины b получены значения
то среднее арифметическое значение

Абсолютные погрешности отдельных измерений
равны по модулю разностям среднего значенияи результатов отдельных измерений

,
,…,

средняя абсолютная погрешность измерений.

Результат измерения представляют так:

Расчеты проводятся с учетом правил приближенных вычислений.

Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от среднего значения и выражается обычно в процентах

Наименьшая погрешность измерения не может быть меньше погрешности прибора. Последняя указывается в паспорте, либо за нее принимаем половину цены деления прибора.

Если измерение проведено один раз или при многократных повторениях получается один и тот же результат, то погрешностью измерения считают погрешность прибора (по паспорту или классу точности прибора) или ее принимают равной половине цены наименьшего деления прибора.

Класс точности прибора определяется максимальной погрешностью прибора, выраженной в процентах от полной величины шкалы. Например, класс точности 0,5 означает погрешность 0,5% при отклонении стрелки на всю шкалу. При отклонении стрелки на половину шкалы погрешность возрастает в два раза, при отклонении стрелки на треть шкалы – втрое.

4. Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях величину x находят как функцию непосредственно измеренных величин а , b , с . Абсолютные погрешности
непосредственных измерений обуславливают абсолютную погрешность
При нахождении
используют следующие теоремы:

1. Абсолютная погрешность суммы (разности) равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого)


,

2. Абсолютная погрешность произведения равна сумме произведений первого сомножителя на абсолютную погрешность второго и второго сомножителя на абсолютную погрешность первого


,

3. Абсолютная погрешность частного равна сумме произведений делимого на абсолютную погрешность делителя и делителя на абсолютную погрешность делимого, деленной на квадрат делителя


,

Относительная погрешность

В математическом анализе показано, что

При этом x – есть какая-то функция
и т. д. в явном виде, и, следовательно, можно вычислить ее дифференциал от логарифма, который будет содержать
и т. д.

Если заменить в полученном выражении все дифференциалы малыми конечными разностями
и т.д., то получим формулу для относительной погрешности

для конечных разностей

.

Если
есть абсолютные погрешности при непосредственных измеренияха , b , с , то
–абсолютная погрешностьвеличины x .

Формула для нахождения относительной погрешности будет записана так: (все члены берутся по абсолютной величине)

.

Для выражения в процентах нужно правую и левую части умножить на 100%.

Эту формулу удобно использовать и для нахождения абсолютной погрешности.

Действительно,

.

Результаты представляют так:
.

Если функция x представляет сложную сумму или разность, то погрешности находятся для каждого члена отдельно, а затем суммируются. В тех случаях, когда в формулы для нахождения величины x входят физические или математические справочные величины, выраженные приближенными числами, их погрешностями считают половину единицы низшего ряда. Например,

Типы средних

Средней величиной по Коши является любая функция такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел , и не больше, чем максимальное из этих чисел.

Среднее по Колмогорову для действительных чисел - величина вида

где - непрерывная строго монотонная функция, а - функция, обратная к . При получают среднее арифметическое, при - среднее геометрическое, при - среднее гармоническое, при - среднее квадратическое, при - среднее степенное.

Такая функция обладает свойствами непрерывности, монотонности по каждому , симметричности. Среднее от одинаковых чисел равно их общему значению.

.

Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9) . В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению .

Мода, как средняя величина, может употребляется для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей - белый, черный, синий, белый, синий, белый - мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

Медиана (50-й процентиль, квантиль 0,5) - возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % - значения признака не меньше, чем медиана.

Средние в порядковой шкале

Из всех средних по Коши допустимыми средними в порядковой шкале являются только члены вариационного ряда (порядковые статистики). В качестве среднего для данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать, в частности, медиану (при нечетном объеме выборки). При четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану. Моду тоже можно использовать - она всегда является членом вариационного ряда. Но никогда нельзя рассчитывать среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.

В названиях арабских чисел каждая цифра принадлежит своему разряду, а каждые три цифры образуют класс. Таким образом, последняя цифра в числе обозначает количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая, вторая с конца, цифра обозначает десятки (разряд десятков), и третья с конца цифра указывает на количество сотен в числе – разряд сотен. Дальше разряды точно также по очереди повторяются в каждом классе, обозначая уже единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и так далее. Если число небольшое и в нем нет цифры десятков или сотен, принято принимать их за ноль. Классы группируют цифры в числах по три, нередко в вычислительных приборах или записях между классами ставится точка или пробел, чтобы визуально разделить их. Это сделано для упрощения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое название: первые три цифры – это класс единиц, далее идет класс тысяч, затем миллионов, миллиардов (или биллионов) и так далее.

Поскольку мы пользуемся десятичной системой исчисления, то основная единица измерения количества – это десяток, или 10 1 . Соответственно с увеличением количества цифр в числе, увеличивается и количество десятков 10 2 ,10 3 ,10 4 и т.д. Зная количество десятков можно легко определить класс и разряд числа, например, 10 16 – это десятки квадриллионов, а 3×10 16 – это три десятка квадриллионов. Разложение чисел на десятичные компоненты происходит следующий образом – каждая цифра выводится в отдельное слагаемое, умножаясь на требуемый коэффициент 10 n , где n – положение цифры по счет слева направо.
Например: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

Также степень числа 10 используется и в написании десятичных дробей : 10 (-1) – это 0,1 или одна десятая. Аналогичным образом с предыдущим пунктом, можно разложить и десятичное число, n в таком случае будет обозначать положение цифры от запятой справа налево, например: 0,347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6)

Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последнему разряду цифр после запятой, например 0,325 – триста двадцать пять тысячных, где тысячные – это разряд последней цифры 5 .

Таблица названий больших чисел, разрядов и классов

1-й класс единицы 1-й разряд единицы
2-й разряд десятки
3-й разряд сотни 		1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
2-й класс тысячи 1-й разряд единицы тысяч
2-й разряд десятки тысяч
3-й разряд сотни тысяч 		1 000 = 10 3
10 000 = 10 4
100 000 = 10 5
3-й класс миллионы 1-й разряд единицы миллионов
2-й разряд десятки миллионов
3-й разряд сотни миллионов 		1 000 000 = 10 6
10 000 000 = 10 7
100 000 000 = 10 8
4-й класс миллиарды 1-й разряд единицы миллиардов
2-й разряд десятки миллиардов
3-й разряд сотни миллиардов 		1 000 000 000 = 10 9
10 000 000 000 = 10 10
100 000 000 000 = 10 11
5-й класс триллионы 1-й разряд единицы триллионов
2-й разряд десятки триллионов
3-й разряд сотни триллионов 		1 000 000 000 000 = 10 12
10 000 000 000 000 = 10 13
100 000 000 000 000 = 10 14
6-й класс квадриллионы 1-й разряд единицы квадриллионов
2-й разряд десятки квадриллионов
3-й разряд десятки квадриллионов 		1 000 000 000 000 000 = 10 15
10 000 000 000 000 000 = 10 16
100 000 000 000 000 000 = 10 17
7-й класс квинтиллионы 1-й разряд единицы квинтиллионов
2-й разряд десятки квинтиллионов
3-й разряд сотни квинтиллионов 		1 000 000 000 000 000 000 = 10 18
10 000 000 000 000 000 000 = 10 19
100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
8-й класс секстиллионы 1-й разряд единицы секстиллионов
2-й разряд десятки секстиллионов
3-й разряд сотни секстиллионов 		1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21
10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22
1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
9-й класс септиллионы 1-й разряд единицы септиллионов
2-й разряд десятки септиллионов
3-й разряд сотни септиллионов 		1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24
10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
10-й класс октиллион 1-й разряд единицы октиллионов
2-й разряд десятки октиллионов
3-й разряд сотни октиллионов 		1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29

В процессе различных расчетов и работы с данными довольно часто требуется подсчитать их среднее значение. Оно рассчитывается путем сложения чисел и деления общей суммы на их количество. Давайте выясним, как вычислить среднее значение набора чисел при помощи программы Microsoft Excel различными способами.

Самый простой и известный способ найти среднее арифметическое набора чисел — это воспользоваться специальной кнопкой на ленте Microsoft Excel. Выделяем диапазон чисел, расположенных в столбце или в строке документа. Находясь во вкладке «Главная», жмем на кнопку «Автосумма», которая расположена на ленте в блоке инструментов «Редактирование». Из выпадающее списка выбираем пункт «Среднее».

После этого, с помощью функции «СРЗНАЧ», производится расчет. В ячейку под выделенным столбцом, или справа от выделенной строки, выводится средняя арифметическая данного набора чисел.

Этот способ хорош простотой и удобством. Но, у него имеются и существенные недостатки. С помощью этого способа можно произвести подсчет среднего значения только тех чисел, которые располагаются в ряд в одном столбце, или в одной строке. А вот, с массивом ячеек, или с разрозненными ячейками на листе, с помощью этого способа работать нельзя.

Например, если выделить два столбца, и вышеописанным способом вычислить среднее арифметическое, то ответ будет дан для каждого столбца в отдельности, а не для всего массива ячеек.

Вычисление с помощью Мастера функций

Для случаев, когда нужно подсчитать среднюю арифметическую массива ячеек, или разрозненных ячеек, можно использовать Мастер функций. Он применяет все ту же функцию «СРЗНАЧ», известную нам по первому методу вычисления, но делает это несколько другим способом.

Кликаем по ячейке, где хотим, чтобы выводился результат подсчета среднего значения. Жмем на кнопку «Вставить функцию», которая размещена слева от строки формул. Либо же, набираем на клавиатуре комбинацию Shift+F3.

Запускается Мастер функций. В списке представленных функций ищем «СРЗНАЧ». Выделяем его, и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов данной функции. В поля «Число» вводятся аргументы функции. Это могут быть как обычные числа, так и адреса ячеек, где эти числа расположены. Если вам неудобно вводить адреса ячеек вручную, то следует нажать на кнопку расположенную справа от поля ввода данных.

После этого, окно аргументов функции свернется, а вы сможете выделить ту группу ячеек на листе, которую берете для расчета. Затем, опять нажимаете на кнопку слева от поля ввода данных, чтобы вернуться в окно аргументов функции.

Если вы хотите подсчитать среднее арифметическое между числами, находящимися в разрозненных группах ячеек, то те же самые действия, о которых говорилось выше, проделывайте в поле «Число 2». И так до тех пор, пока все нужные группы ячеек не будут выделены.

После этого, жмите на кнопку «OK».

Результат расчета среднего арифметического будет выделен в ту ячейку, которую вы выделили перед запуском Мастера функций.

Панель формул

Существует ещё третий способ запустить функцию «СРЗНАЧ». Для этого, переходим во вкладку «Формулы». Выделяем ячейку, в которой будет выводиться результат. После этого, в группе инструментов «Библиотека функций» на ленте жмем на кнопку «Другие функции». Появляется список, в котором нужно последовательно перейти по пунктам «Статистические» и «СРЗНАЧ».

Затем, запускается точно такое же окно аргументов функции, как и при использовании Мастера функций, работу в котором мы подробно описали выше.

Дальнейшие действия точно такие же.

Ручной ввод функции

Но, не забывайте, что всегда при желании можно ввести функцию «СРЗНАЧ» вручную. Она будет иметь следующий шаблон: «=СРЗНАЧ(адрес_диапазона_ячеек(число); адрес_диапазона_ячеек(число)).

Конечно, этот способ не такой удобный, как предыдущие, и требует держать в голове пользователя определенные формулы, но он более гибкий.

Расчет среднего значения по условию

Кроме обычного расчета среднего значения, имеется возможность подсчета среднего значения по условию. В этом случае, в расчет будут браться только те числа из выбранного диапазона, которые соответствуют определенному условию. Например, если эти числа больше или меньше конкретно установленного значения.

Для этих целей, используется функция «СРЗНАЧЕСЛИ». Как и функцию «СРЗНАЧ», запустить её можно через Мастер функций, из панели формул, или при помощи ручного ввода в ячейку. После того, как открылось окно аргументов функции, нужно ввести её параметры. В поле «Диапазон» вводим диапазон ячеек, значения которых будут участвовать в определении среднего арифметического числа. Делаем это тем же способом, как и с функцией «СРЗНАЧ».

А вот, в поле «Условие» мы должны указать конкретное значение, числа больше или меньше которого будут участвовать в расчете. Это можно сделать при помощи знаков сравнения. Например, мы взяли выражение «>=15000». То есть, для расчета будут браться только ячейки диапазона, в которых находятся числа большие или равные 15000. При необходимости, вместо конкретного числа, тут можно указать адрес ячейки, в которой расположено соответствующее число.

Поле «Диапазон усреднения» не обязательно для заполнения. Ввод в него данных является обязательным только при использовании ячеек с текстовым содержимым.

Когда все данные введены, жмем на кнопку «OK».

После этого, в предварительно выбранную ячейку выводится результат расчета среднего арифметического числа для выбранного диапазона, за исключением ячеек, данные которых не отвечают условиям.

Как видим, в программе Microsoft Excel существует целый ряд инструментов, с помощью которых можно рассчитать среднее значение выбранного ряда чисел. Более того, существует функция, которая автоматически отбирает числа из диапазона, не соответствующие заранее установленному пользователем критерию. Это делает вычисления в приложении Microsoft Excel ещё более удобными для пользователей.

Для того чтобы найти среднее значение в Excel (при том неважно числовое, текстовое, процентное или другое значение) существует много функций. И каждая из них обладает своими особенностями и преимуществами. Ведь в данной задаче могут быть поставлены определенные условия.

Например, средние значения ряда чисел в Excel считают с помощью статистических функций. Можно также вручную ввести собственную формулу. Рассмотрим различные варианты.

Как найти среднее арифметическое чисел?

Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа в наборе и разделить сумму на количество. Например, оценки школьника по информатике: 3, 4, 3, 5, 5. Что выходит за четверть: 4. Мы нашли среднее арифметическое по формуле: =(3+4+3+5+5)/5.

Как это быстро сделать с помощью функций Excel? Возьмем для примера ряд случайных чисел в строке:

Или: сделаем активной ячейку и просто вручную впишем формулу: =СРЗНАЧ(A1:A8).

Теперь посмотрим, что еще умеет функция СРЗНАЧ.


Найдем среднее арифметическое двух первых и трех последних чисел. Формула: =СРЗНАЧ(A1:B1;F1:H1). Результат:



Среднее значение по условию

Условием для нахождения среднего арифметического может быть числовой критерий или текстовый. Будем использовать функцию: =СРЗНАЧЕСЛИ().

Найти среднее арифметическое чисел, которые больше или равны 10.

Функция: =СРЗНАЧЕСЛИ(A1:A8;">=10")


Результат использования функции СРЗНАЧЕСЛИ по условию ">=10":

Третий аргумент – «Диапазон усреднения» - опущен. Во-первых, он не обязателен. Во-вторых, анализируемый программой диапазон содержит ТОЛЬКО числовые значения. В ячейках, указанных в первом аргументе, и будет производиться поиск по прописанному во втором аргументе условию.

Внимание! Критерий поиска можно указать в ячейке. А в формуле сделать на нее ссылку.

Найдем среднее значение чисел по текстовому критерию. Например, средние продажи товара «столы».

Функция будет выглядеть так: =СРЗНАЧЕСЛИ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Диапазон – столбец с наименованиями товаров. Критерий поиска – ссылка на ячейку со словом «столы» (можно вместо ссылки A7 вставить само слово "столы"). Диапазон усреднения – те ячейки, из которых будут браться данные для расчета среднего значения.

В результате вычисления функции получаем следующее значение:

Внимание! Для текстового критерия (условия) диапазон усреднения указывать обязательно.

Как посчитать средневзвешенную цену в Excel?

Как мы узнали средневзвешенную цену?

Формула: =СУММПРОИЗВ(C2:C12;B2:B12)/СУММ(C2:C12).


С помощью формулы СУММПРОИЗВ мы узнаем общую выручку после реализации всего количества товара. А функция СУММ - сумирует количесвто товара. Поделив общую выручку от реализации товара на общее количество единиц товара, мы нашли средневзвешенную цену. Этот показатель учитывает «вес» каждой цены. Ее долю в общей массе значений.

Среднее квадратическое отклонение: формула в Excel

Различают среднеквадратическое отклонение по генеральной совокупности и по выборке. В первом случае это корень из генеральной дисперсии. Во втором – из выборочной дисперсии.

Для расчета этого статистического показателя составляется формула дисперсии. Из нее извлекается корень. Но в Excel существует готовая функция для нахождения среднеквадратического отклонения.


Среднеквадратическое отклонение имеет привязку к масштабу исходных данных. Для образного представления о вариации анализируемого диапазона этого недостаточно. Чтобы получить относительный уровень разброса данных, рассчитывается коэффициент вариации:

среднеквадратическое отклонение / среднее арифметическое значение

Формула в Excel выглядит следующим образом:

СТАНДОТКЛОНП (диапазон значений) / СРЗНАЧ (диапазон значений).

Коэффициент вариации считается в процентах. Поэтому в ячейке устанавливаем процентный формат.