Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод. Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, примеры

Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cos α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (t g α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (c t g α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , - 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1 , 0).

Положительному числу t

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым.

Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов.

Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними».

Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная - математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин.

При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса - синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними.

Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов.

Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть.

Радиан - угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) - 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

tg ;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 .

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функция является возрастающей.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = ctg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функция является убывающей.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .