Формулировка задачи: Найдите значение выражения (действия с дробями).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 1 (Действия с дробями).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите значение выражения 5/4 + 7/6: 2/3.

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 3

Пример задачи 2:

Найдите значение выражения (3,9 – 2,4) ∙ 8,2

Ответ: 12,3

Пример задачи 3:

Найдите значение выражения 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: –8

Пример задачи 4:

Найдите значение выражения 2,7 / (1,4 + 0,1)

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 1,8

Пример задачи 5:

Найдите значение выражения 1 / (1/9 – 1/12).

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 36

Пример задачи 6:

Найдите значение выражения (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 40

Пример задачи 7:

Найдите значение выражения (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 10

Пример задачи 8:

Найдите значение выражения (728^2 – 26^2) : 754.

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке. Также в данном случае нужно применить формулу разности квадратов.

С дробями ученики знакомятся еще в 5 классе. Раньше людей, которые умели производить действия с дробями, считали очень умными. Первой дробью была 1/2, то есть половина, дальше появились 1/3 и т.д. Несколько веков примеры считались слишком сложными. Сейчас же разработаны подробные правила по преобразованию дробей, сложению, умножению и другим действиям. Достаточно немного разобраться в материале, и решение будет даваться легко.

Обыкновенная дробь, которую называют простой дробью, записывается как деление двух чисел: m и n.

M - это делимое, то есть числитель дроби, а делитель n называют знаменателем.

Выделяют правильные дроби (m < n) а также неправильные (m > n).

Правильная дробь меньше единицы (к примеру 5/6 — это значит, что от единицы взято 5 частей; 2/8 — от единицы взято 2 части). Неправильная дробь равна или больше 1 (8/7 — единицей будет 7/7 и плюсом взята еще одна часть).

Так, единица, это когда числитель и знаменатель совпали (3/3, 12/12, 100/100 и другие).

Действия с обыкновенными дробями 6 класс

С простыми дробями можно производить следующие действия:

  • Расширять дробь. Если умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число (только не на ноль), то значение дроби не поменяется (3/5 = 6/10 (просто умножили на 2).
  • Сокращение дробей — схоже расширению, но тут делят на какое-либо число.
  • Сравнивать. Если у двух дробей числители одинаковыми, то большей окажется дробь с меньшим знаменателем. Если одинаковые знаменатели, то больше будет дробь с наибольшим числителем.
  • Выполнять сложение и вычитание. При одинаковых знаменателях это сделать просто (суммируем верхние части, а нижняя не меняется). При разных придется найти общий знаменатель и дополнительные множители.
  • Умножить и разделить дроби.

Примеры действий с дробями рассмотрим ниже.

Сокращенные дроби 6 класс

Сократить — значит поделить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число.

На рисунке представлены просты примеры сокращения. В первом варианте можно сразу догадаться, что числитель и знаменатель делятся на 2.

На заметку! Если число четное, то оно по-любому делится на 2. Четные числа — это 2, 4, 6…328 (заканчивается на четное) и т. д.

Во втором случае при делении 6 на 18 сразу видно, что числа делятся на 2. Разделив, получаем 3/9. Эта дробь делится еще на 3. Тогда в ответе получается 1/3. Если перемножить оба делителя: 2 на 3, то выйдет 6. Получается, что дробь была разделена на шестерку. Такое постепенное деление называется последовательным сокращением дроби на общие делители.

Кто-то сразу поделит на 6, кому-то понадобится деление частями. Главное, чтобы в конце осталась дробь, которую уже никак не сократить.

Отметим, что если число состоит из цифр, при сложении которых получится число, делящееся на 3, то и первоначальное также можно сократить на 3. Пример: число 341. Складываем цифры: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не делится, значит, число 341 нельзя сократить на 3 без остатка). Другой пример: 264. Складываем: 2 + 6 + 4 = 12 (делится на 3). Получаем: 264: 3 = 88. Это упростит сокращение больших чисел.

Помимо метода последовательного сокращения дроби на общие делители есть и другие способы.

НОД — это самый большой делитель для числа. Найдя НОД для знаменателя и числителя, можно сразу сократить дробь на нужное число. Поиск осуществляется путем постепенного деления каждого числа. Далее смотрят, какие делители совпадают, если их несколько (как на картинке ниже), то нужно перемножить.

Смешанные дроби 6 класс

Все неправильные дроби можно превратить в смешанные, выделив в них целую часть. Целое число пишется слева.

Часто приходится из неправильной дроби делать смешанное число. Процесс преобразования на примере ниже: 22/4 = 22 делим на 4, получаем 5 целых (5 * 4 = 20). 22 — 20 = 2. Получаем 5 целых и 2/4 (знаменатель не меняется). Поскольку дробь можно сократить, то делим верхнюю и нижнюю часть на 2.

Смешанное число легко превратить в неправильную дробь (это необходимо при делении и умножении дробей). Для этого: целое число умножим на нижнюю часть дроби и прибавим к этому числитель. Готово. Знаменатель не меняется.

Вычисления с дробями 6 класс

Смешанные числа можно складывать. Если знаменатели одинаковые, то сделать это просто: складываем целые части и числители, знаменатель остается на месте.

При сложении чисел с разными знаменателями процесс сложнее. Сначала приводим числа к одному самому маленькому знаменателю (НОЗ).

В примере ниже для чисел 9 и 6 знаменателем будет 18. После этого нужны дополнительные множители. Чтобы их найти, следует 18 разделить на 9, так находится дополнительное число — 2. Его умножаем на числитель 4 получилась дробь 8/18). То же самое делают и со второй дробью. Преобразованные дроби уже складываем (целые числа и числители отдельно, знаменатель не меняем). В примере ответ пришлось преобразовать в правильную дробь (изначально числитель оказался больше знаменателя).

Обратите внимание, что при разности дробей алгоритм действий такой же.

При умножении дробей важно поместить обе под одну черту. Если число смешанное, то превращаем его в простую дробь. Далее умножаем верхнюю и нижнюю части и записываем ответ. Если видно, что дроби можно сократить, то сокращаем сразу.

В указанном примере сокращать ничего не пришлось, просто записали ответ и выделили целую часть.

В этом примере пришлось сократить числа под одной чертой. Хотя сокращать можно и готовый ответ.

При делении алгоритм почти такой же. Сначала превращаем смешанную дробь в неправильную, затем записываем числа под одной чертой, заменив деление умножением. Не забываем верхнюю и нижнюю часть второй дроби поменять местами (это правило деления дробей).

При необходимости сокращаем числа (в примере ниже сократили на пятерку и двойку). Неправильную дробь преобразуем, выделив целую часть.

Основные задачи на дроби 6 класс

На видео показано еще несколько задач. Для наглядности использованы графические изображения решений, которые помогут наглядно представить дроби.

Примеры умножения дроби 6 класс с пояснениями

Перемножающиеся дроби записываются под одной линией. После этого их сокращают путем деления на одни и те же числа (например, 15 в знаменателе и 5 в числителе можно разделить на пятерку).

Сравнение дробей 6 класс

Чтобы сравнить дроби, нужно запомнить два простых правила.

Правило 1. Если знаменатели разные

Правило 2. Когда знаменатели одинаковые

Например, сравним дроби 7/12 и 2/3.

  1. Смотрим на знаменатели, они не совпадают. Значит нужно найти общий.
  2. Для дробей общим знаменателем будет 12.
  3. Делим 12 сначала на нижнюю часть первой дроби: 12: 12 = 1 (это доп. множитель для 1-й дроби).
  4. Теперь 12 делим на 3, получаем 4 — доп. множитель 2-й дроби.
  5. Умножаем полученные цифры на числители, чтобы преобразовать дроби: 1 х 7 = 7 (первая дробь: 7/12); 4 х 2 = 8 (вторая дробь: 8/12).
  6. Теперь можем сравнивать: 7/12 и 8/12. Получилось: 7/12 < 8/12.

Чтобы представлять дроби лучше, можно для наглядности использовать рисунки, где предмет делится на части (к примеру, торт). Если требуется сравнить 4/7 и 2/3, то в первом случае торт делят на 7 частей и выбирают 4 из них. Во втором — делят на 3 части и берут 2. Невооруженным взглядом будет понятно, что 2/3 будет больше 4/7.

Примеры с дробями 6 класс для тренировки

В качестве тренировки можно выполнить следующие задания.

  • Сравнить дроби

  • выполнить умножение

Совет: если сложно найти наименьший общий знаменатель у дробей (особенно, если значения их небольшие), то можно перемножить знаменатель первой и второй дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Найти их знаменатель просто: 8 умножаем на 9, получится 72.

Решение уравнений с дробями 6 класс

В решении уравнений требуется вспомнить действия с дробями: умножение, деление, вычитание и сложение. Если неизвестен один из множителей, то произведение (итог) делится на известный множитель, то есть дроби перемножаются (вторая переворачивается).

Если неизвестно делимое, то знаменатель умножается на делитель, а для поиска делителя нужно делимое разделить на частное.

Представим простые примеры решения уравнений:

Здесь требуется лишь произвести разность дробей, не приводя к общему знаменателю.

  • Деление на 1/2 заменили умножением на 2 (перевернули дробь).
  • Складывая 1/2 и 3/4, пришли к общему знаменателю 4. При этом для первой дроби понадобился дополнительный множитель 2, из 1/2 вышло 2/4.
  • Сложили 2/4 и 3/4 — получили 5/4.
  • Не забыли про умножение 5/4 на 2. Путем сокращения 2 и 4 получили 5/2.

    • Ответ получился в виде неправильной дроби. Ее можно преобразовать в 1 целую и 3/5.

    Во втором способе числитель и знаменатель умножили на 4, чтобы сократить нижнюю часть, а не переворачивать знаменатель.

    Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.

    Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.

    Суть дроби

    Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля . Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

    Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

    Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

    Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь . Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

    Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

    Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

    Основные доли и их запись в дробях:

    Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

    Действия с дробями 5 класс

    В пятом классе учатся выполнять все арифметические действия с дробями.

    Все действия с дробями выполняются по правилам, и надеяться на то, что не выучив правило все получится само сабой не стоит. Поэтому не стоит пренебрегать устной частью домашнего задания по математике.

    Мы уже поняли, что запись десятичной и обыкновенной дроби различны, следовательно и арифметические действия будут выполняться по-разному. Действия с обыкновенными дробями зависят от тех чисел, которые стоят в знаменателе, а в десятичной-после запятой справа.

    Для дробей, у которых знаменатели одинаковые, алгоритм сложения и вычитания очень прост. Действия выполняем только с числителями.

    Для дробей с разными знаменателями нужно найти Наименьший Общий Знаменатель (НОЗ). Это то число, которое будет делиться без остатка на все знаменатели, и будет наименьшим из таких чисел, если их несколько.

    Для сложения либо вычитания десятичных дробей, нужно записать их в столбик, запятая под запятой, и уравнить количество десятичных знаков если это требуется.

    Чтобы перемножить обыкновенные дроби просто найди произведение числителей и знаменателей. Очень простое правило.

    Деление выполняется по следующему алгоритму:

    1. Делимое записать без изменения
    2. Деление превратить в умножение
    3. Делитель перевернуть (записать обратную дробь делителю)
    4. Выполнить умножение

    Сложение дробей, объяснение

    Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

    Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

    Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

    Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

    Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

    Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

    Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

    Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

    Вычитание дробей, объяснение

    Чтобы найти разность дробей две третьих и одна третья, нужно вычислить разность числителей 2-1 = 1, а знаменатель оставить без изменения. В ответе получаем разность одну третью.

    Найдем разность дробей пять шестых и семь десятых. Находим общий знаменатель. Используем способ подбора, из 6 и 10 наибольший 10. Проверяем: 10: 6 без остатка не делится. Добавляем еще 10, получается 20:6, тоже без остатка не делится. Снова увеличиваем на 10, получили 30:6 = 5. Общий знаменатель 30. Так же НОЗ можно найти по таблице умножения.

    Находим дополнительные множители. 30:6 = 5 — для первой дроби. 30:10 = 3 — для второй. Перемножаем числители и их доп.множ. Получаем уменьшаемое 25/30 и вычитаемое 21/30. Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.

    В результате получилась разность 4/30. Дробь сократимая. Разделим ее на 2. В ответе 2/15.

    Деление десятичных дробей 5 класс

    В этой теме рассматривается два варианта действий:

    Умножение десятичных дробей 5 класс

    Вспомните, как вы умножаете натуральные числа, точно таким же способом и находят произведение десятичных дробей. Сначала разберемся, как умножить десятичную дробь на натуральное число. Для этого:

    При умножении десятичной дроби на десятичную, действуем точно также.

    Смешанные дроби 5 класс

    Пятиклашки любят называть такие дроби не смешанные, а <<смешные>>, наверное так легче запомнить. Смешанные дроби называются так от того, что они получились путем соединения целого натурального числа и обыкновенной дроби.

    Смешанная дробь состоит из целой и дробной части.

    При чтении таких дробей сначала называют целую часть, затем дробную: одна целая две третьих, две целых одна пятая, три целых две пятых, четыре целых три четвертых.

    Как же они получаются, эти смешанные дроби? Все довольно просто. Когда мы получаем в ответе неправильную дробь (дробь у которой числитель больше знаменателя), мы ее должны всегда переводить в смешанную. Достаточно разделить числитель на знаменатель. Это действие называется выделением целой части:

    Перевести смешанную дробь обратно в неправильную тоже несложно:


    Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

    Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

    (0,4 · 8,25 — 2,025) : 0,5 =

    Первым действием находим произведение чисел 8,25 и 0,4. Выполняем умножение по правилу. В ответе отсчитываем справа налево три знака и ставим запятую.

    Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

    Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат 2,55.

    Ответ: 2,55.

    (0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

    Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

    Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

    Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

    Ответ: 8 .

    Примеры с обыкновенными дробями с разными знаменателями 5 класс с объяснением

    В первом примере находим сумму дробей 5/8 и 3/7. Общим знаменателем будет число 56. Находим дополнительные множ., разделим 56:8 = 7 и 56:7 = 8. Дописываем их к первой и второй дроби соответственно. Перемножаем числители и их множители, получаем сумму дробей 35/56 и 24/56. Получили сумму 59/56. Дробь неправильная, переводим ее в смешанное число.Остальные примеры решаются аналогично.

    Примеры с дробями 5 класс для тренировки

    Для удобства переведите смешанные дроби в неправильные и выполняйте действия.

    Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

    С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

    На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

    Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

    Чтобы получать пятерки по математике не забывайте учить правила и отрабатывать их на практике.

    Содержание урока

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

    1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Сложение дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

    1. Найти НОК знаменателей дробей;
    2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
    3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
    4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
    5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

    Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

    Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

    1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Вычитание дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

    Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

    Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
    2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

    Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

    Получили ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

    Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Деление дроби на число

    Допустим, у нас имеется половина пиццы:

    Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

    Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

    Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

    Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

    Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

    Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

    Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

      Сама столкнулась с тем, что дроби оказались достаточно сложной темой для моих детей.

      Есть очень хорошая игра Дроби Никитина, она предназначена для дошкольников, но и в школе отлично поможет ребенку разобраться, что же все-таки это такое - дроби, их соотношение друг к другу..., причем все в доступной, наглядной и увлекательной форме.

      Представляет она из себя двенадцать разноцветных кругов. Один круг - целый, а все остальные поделены на равные части - две, три.... (до двенадцати).

      Ребнку предлагается выполнить несложные игровые задания, например:

      Как называютсячасти кружков? или

      Какая часть больше? (наложить меньшую на большую.)

      Моим эта методика помогла. Вообще очень жалею, что все эти Никитинские развивашки не попались на глаза, когда дети были еще малышами.

      Игру можно сделать самостоятельно или купить готовую, а узнать обо всем подробней - .

      Решение дробей можно объяснить и на кубиках Lego. Он развивает не только воображение, но и творческое и логическое мышление, а значит, его можно использовать и как учебное пособие.

      Алишия Зиммерман придумала использовать кубики известного конструктора для обучения детей основам математики.

      И вот как на основе конструктора Lego можно объяснить дроби.

      Практика показывает, что больше всего трудностей возникает при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями и при делении дробей.

      Трудности возникают из-за кривых указаний в учебнике, как, например, разделить дробь на дробь.

      Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой дроби.

      Может ли ребенок в 4 классе это понять и не запутаться? НЕТ!

      А нам учительница объяснила элементарно: нужно вторую дробь перевернуть, а потом умножить!

      Тоже самое со сложением.

      Чтобы сложить две дроби, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби, полученные числа сложить и записать в числитель. А в знаменатель нужно записать произведение знаменателей дробей. После этого полученную дробь можно (или нужно) сократить.

      А проще так: Приведите дроби к общему знаменателю, который равен НОК знаменателей, а потом сложите числители.

      Показать им на наглядном примере. Например, яблоко разрежьте на 4 части, на 8, на 12 сложите в целое, сложите несколько частей, отнимите. При этом на бумаге объясняйте с использованием правил. Правила сложения, вычитания. деления дробей, а так же как из неправильной дроби выделить целое - вс это учите в ходе манипуляций с яблоком. Не торопите детей, пусть внимательно с вашей помощью разберутся с дольками.

      Научить решать дроби, в частности детей, это дело вполне обычно и не создаст много хлопот. Самое просто что можно сделать, это взять что-то целое, например мандарин, или любой другой плод, разделить его не части, и на примере показывать вычитания, сложение и другие операции с кусочками этого плода, что и будет дробями от целого. Все нужно объяснять и показывать, и завершающим фактором будет на математических примерах объяснять и решать задания совместно, пока ребенок сам не научиться делать эти задания.

      На рисунке наглядно видно что чему соответствует и как смотрится дробь на реальном предмете, именно так и нужно объяснять.

      Вам к этому вопросу, нужно подойти основательно, так как решение дробей в жизни пригодится. Нужно в этом вопросе, как говорится, с детьми быть на равных, и объяснять теорию на им доступном языке, например на языке торта или мандарина. Нужно делить торт на до и раздавать друзьям, после чего ребенок начнет вникать в суть решения дробей. Не начинайте с тяжелых дробей, начните с понятий 1/2, 1/3, 1/10. Сначала отнимайте и прибавляйте, а потом переходите на более сложные понятия как умножение и деление.

      Проблемы с дробями бывают разные. Один ребнок не может понять, что одна вторая и пять десятых - это одно и то же, у других вызывает недоумение приведение различных дробей к одному знаменателю, у третьих - деление дробей. Поэтому и одного правила на все случаи жизни нет.

      Главное в задачах на дроби - не упустить момент, когда понятное перестат таковым быть. Возвращаться к печке и повторять вс сначала, даже если оно кажется убого-примитивным. Например, вернуться к тому, что такое одна вторая .

      Ребнок должен понять, что математические понятия - абстрактны, что одно и то же явление можно описать разными словами, выразить разными числами.

      Мне нравится ответ, данный Mefody66. Добавлю из личной многолетней практики: научить решать задачи с дробями (а не решать дроби; решать дроби нельзя, равно как невозможно решать числа) довольно несложно, надо лишь быть рядом с ребенком, когда он только приступает к решению таких задач, вовремя корректировать его решение, дабы ошибки, которые неизбежны при любом обучении, не успели закрепиться в сознании ребенка. Переучивать сложнее, чем учить новое. И как можно больше решать таких задач. Довести до автоматизма решение таких заданий - вот это хорошо бы сделать. Умение решать задачи с обыкновенными дробями по важности в школьном курсе математики занимает такое же место, как и знание таблицы умножения. Так что надо не полениться и проследить, как ваш ребенок решает такие задачи.

      И не очень опирайтесь при этом на учебник: учителя в школах объясняют именно так, как писал в своем ответе Mefody66. Лучше поговорить с учителем, выяснить, какими словами учитель объяснял эту тему. И использовать по возможности те же слова и фразы (чтобы не сильно запутывать ребенка)

      Еще: наглядные примеры использовать советую лишь на начальном этапе объяснения, потом побыстрее абстрагироваться, переходить к алгоритму решения. Иначе наглядность может повредить при решении более сложных задач. Например, если надо сложить дроби со знаменателями 29 и 121 - какая тут наглядность поможет? Только запутает.

      Дроби - одна из тех благодатных математических тем, где нет не приложимых к делу абстракций. В ход идти должны продукты (на тортах , как Хуаните Солис в Отчаянных домохозяйках - реально классный метод объяснений). Все эти числители-знаменатели - потом. Потом нужно, чтобы ребенок понял, что деление на дробь уже и не уменьшение вовсе, а умножение- не прибавка. Тут лучше показать, как делить на дробь в форме умножения на перевертыш. В игровой форме подать сокращение, если делятся на одно число, то делить, почти судоку получается, если заинтересовать. Главное вовремя заметить непонятки, потому что дальше будут темы покруче, которые понять не просто. Поэтому побольше практики решении дробей и все быстро наладится. Мне, гуманитарию наичистейшему, далкому от малейшей степени абстракции, дроби всегда были понятны, чем остальные темы.